应用场景-公交站问题
看一个应用场景和问题：
- 某城市新增 7 个站点 (A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把 7 个站点连通
- 各个站点的距离用边线表示 ( 权 ) ，比如 A – B 距离 12 公里
- 问：如何修路保证各个站点都能连通，并且总的修建公路总里程最短 ?
克鲁斯卡尔算法介绍
- 克鲁斯卡尔 (Kruskal) 算法，是用来求加权连通图的最小生成树的算法 。
- 基本思想 ：按照权值从小到大的顺序选择 n-1 条边，并保证这 n-1 条边不构成回路
- 具体做法 ：首先构造一个只含 n 个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使森林中不产生回路，直至森林变成一棵树为止
克鲁斯卡尔算法图解说明
以城市公交站问题来图解说明 克鲁斯卡尔算法的原理和步骤：
在含有n个顶点的连通图中选择n-1条边，构成一棵极小连通子图，并使该连通子图中n-1条边上权值之和达到最小，则称其为连通网的最小生成树。
例如，对于如上图G4所示的连通网可以有多棵权值总和不相同的生成树。
克鲁斯卡尔算法图解
以上图G4为例，来对克鲁斯卡尔进行演示(假设，用数组R保存最小生成树结果)。
第1步：将边<E,F>加入R中。
边<E,F>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第2步：将边<C,D>加入R中。
上一步操作之后，边<C,D>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第3步：将边<D,E>加入R中。
上一步操作之后，边<D,E>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第4步：将边<B,F>加入R中。
上一步操作之后，边<C,E>的权值最小，但<C,E>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<C,E>。同理，跳过边<C,F>。将边<B,F>加入到最小生成树结果R中。
第5步：将边<E,G>加入R中。
上一步操作之后，边<E,G>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第6步：将边<A,B>加入R中。
上一步操作之后，边<F,G>的权值最小，但<F,G>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<F,G>。同理，跳过边<B,C>。将边<A,B>加入到最小生成树结果R中。
此时，最小生成树构造完成！它包括的边依次是：<E,F> <C,D> <D,E> <B,F> <E,G> <A,B>。
克鲁斯卡尔算法分析
根据前面介绍的克鲁斯卡尔算法的基本思想和做法，我们能够了解到，克鲁斯卡尔算法重点需要解决的以下两个问题：
问题一 对图的所有边按照权值大小进行排序。
问题二 将边添加到最小生成树中时，怎么样判断是否形成了回路。
问题一很好解决，采用排序算法进行排序即可。
问题二，处理方式是：记录顶点在"最小生成树"中的终点，顶点的终点是"在最小生成树中与它连通的最大顶点"。然后每次需要将一条边添加到最小生存树时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合的话则会构成回路。
如何判断是否构成回路-举例说明(如图)
在将<E,F> <C,D> <D,E>加入到最小生成树R中之后，这几条边的顶点就都有了终点：
(01) C的终点是F。
(02) D的终点是F。
(03) E的终点是F。
(04) F的终点是F。
关于终点的说明：
就是将所有顶点按照从小到大的顺序排列好之后；某个顶点的终点就是"与它连通的最大顶点"。
因此，接下来，虽然<C,E>是权值最小的边。但是C和E的终点都是F，即它们的终点相同，因此，将<C,E>加入最小生成树的话，会形成回路。这就是判断回路的方式。也就是说，我们加入的边的两个顶点不能都指向同一个终点，否则将构成回路。【后面有代码说明】
克鲁斯卡尔算法的代码说明
package com.liu.kruskal;
import java.util.Arrays;
public class KruskalCase {
private int edgeNum;
private char[] vertexs;
private int[][] matrix;
private static final int INF = Integer.MAX_VALUE;
public static void main(String[] args) {
char[] vertexs = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
int matrix[][] = {
{ 0, 12, INF, INF, INF, 16, 14},
{ 12, 0, 10, INF, INF, 7, INF},
{ INF, 10, 0, 3, 5, 6, INF},
{ INF, INF, 3, 0, 4, INF, INF},
{ INF, INF, 5, 4, 0, 2, 8},
{ 16, 7, 6, INF, 2, 0, 9},
{ 14, INF, INF, INF, 8, 9, 0}};
KruskalCase kruskalCase = new KruskalCase(vertexs, matrix);
kruskalCase.print();
kruskalCase.kruskal();
}
public KruskalCase(char[] vertexs, int[][] matrix) {
int vlen = vertexs.length;
this.vertexs = new char[vlen];
for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
this.vertexs[i] = vertexs[i];
}
this.matrix = new int[vlen][vlen];
for(int i = 0; i < vlen; i++) {
for(int j= 0; j < vlen; j++) {
this.matrix[i][j] = matrix[i][j];
}
}
for(int i =0; i < vlen; i++) {
for(int j = i+1; j < vlen; j++) {
if(this.matrix[i][j] != INF) {
edgeNum++;
}
}
}
}
private void kruskal() {
int index=0;
int ends[]=new int[edgeNum];
Edata[] result=new Edata[edgeNum];
Edata[] edges = getEdges();
System.out.println("图的边的集合=" + Arrays.toString(edges) + " 共"+ edges.length);
Arrays.sort(edges);
for(int i=0;i<edgeNum; i++) {
int p1=getPosition(edges[i].start);
int p2=getPosition(edges[i].end);
int n=getEnd(ends,p1);
int m=getEnd(ends, p2);
if(n!=m) {
ends[n]=m;
result[index++]=edges[i];
}
}
System.out.println("最小生成树为");
for(int i = 0; i < index; i++) {
System.out.println(result[i]);
}
}
private int getEnd(int[] ends, int p1) {
while(ends[p1]!=0) {
p1=ends[p1];
}
return p1;
}
private int getPosition(char ch) {
for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
if(vertexs[i] == ch) {
return i;
}
}
return -1;
}
private Edata[] getEdges() {
int index = 0;
Edata[] edges = new Edata[edgeNum];
for(int i=0;i<vertexs.length;i++) {
for(int j=i+1;j<vertexs.length;j++) {
if(matrix[i][j]!=INF) {
edges[index++] = new Edata(vertexs[i], vertexs[j], matrix[i][j]);
}
}
}
return edges;
}
private void print() {
System.out.println("邻接矩阵为: \n");
for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
for(int j=0; j < vertexs.length; j++) {
System.out.printf("%12d", matrix[i][j]);
}
System.out.println();
}
}
}
class Edata implements Comparable<Edata>{
char start;
char end;
int weight;
public Edata(char start, char end, int weight) {
super();
this.start = start;
this.end = end;
this.weight = weight;
}
@Override
public String toString() {
return "Edate [start=" + start + ", end=" + end + ", weight=" + weight + "]";
}
@Override
public int compareTo(Edata o) {
return this.weight-o.weight;
}
}
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